Belka jest elementem nośnym konstrukcji budowlanej o różnych warunkach podparcia, najczęściej jest podparta w dwóch punktach. W budownictwie prywatnym jako belki najczęściej stosuje się drewno i metal, rzadziej belki żelbetowe.
Belki stanowią podstawę stropów (podłogi, sufity, balkony) i dachów, i oczywiście każdy właściciel swojego domu chce, aby taka konstrukcja w jego domu była niezawodna i trwała.
Mam bardzo dobrego znajomego, który pracuje jako stolarz od czterech dekad, który stale zaleca instalowanie belek o wysokości przekroju √2 razy większej. Jak tak i czym jest to na pierwszy rzut oka nowa zasada?!
Oczywiście nie, jest to dalekie od nowej zasady, stosuje się ją wszędzie i przyjrzyjmy się bliżej ...
Wszyscy przynajmniej raz, ale słyszeliśmy od budowniczych, że maksymalną wytrzymałość belki uzyskuje się, jeśli przestrzegana jest jedna zasada: optymalny poprzeczny przekrój belki prostokątnej powinien składać się z proporcji 7:5 - fachowcy w swojej dziedzinie twierdzą, że taka belka ma maksimum trwałość. Ale czy tak jest?
Nie ma tu nic skomplikowanego, a żeby to zrozumieć, trzeba pamiętać o podstawach fizyki. Wytrzymałość dowolnej belki zależy bezpośrednio od jej przekroju i jest obliczana według wzoru: K * A * H², gdzie A i H są odpowiednio szerokością i wysokością belki, oraz DO - współczynnik uwzględniający długość belki i materiał.
Na przykład, musimy zdobyć drewnianą belkę z okrągłej kłody, która miałaby najlepszy nośność.
Ten stolarz narysował dla mnie prostokąt, w którym przekątna jest równa średnicy kłody:
Potem będą jakieś obliczenia matematyczne, można je pominąć w sekcji „Wnioski”.
Przekrój belki dzieli się przekątną na dwa trójkąty prostokątne, w których ramię AC (wysokość) jest obliczane według twierdzenia Pitagorasa:
AC² = AB² - BC² i odpowiednio AC = √ (4R²-X²).
Teraz zamieńmy to na powyższy wzór na siłę:
Wytrzymałość = k * X * (4R²-X²)
Skorzystałem ze swojej wiedzy szkolnej i po otwarciu nawiasów przedstawiłem tę funkcję siły w postaci wykresu funkcji na siatce współrzędnych:
Wykres pokazuje nam, jak zmienia się wytrzymałość konstrukcji belki w zależności od wielkości przekątnej i szerokości belki (X lub noga BC).
A teraz musimy znaleźć rzut punktu szczytowego wykresu na oś, robimy to za pomocą naszej ulubionej pochodnej, która jest wyrażona przez granicę stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu.
Znajdujemy X, przy wartości którego zniknęłaby nasza pochodna funkcji:
X =2R√3 / 3
Znajomość szerokości belki (X) u szczytu funkcji siły, wysokość belki znajdujemy, podstawiając wartość do wzoru pitagorejskiego:
AC = √ (4R²-X²). Zastąp X i uzyskaj:
h = 2R√6 / 3
Wniosek
Spójrz, nasza szerokość belki okazała się 2R√3 / 3, a wysokość tej belki to 2R√6 / 3. Jeśli podzielimy jedno przez drugie, otrzymamy stosunek dokładnie √2 i ta wartość stosunku dwóch boków belki charakteryzuje najwyższy punkt na wykresie siły!
Innymi słowy, belka o maksymalnej wytrzymałości musi mieć przekrój, w którym jego wysokość jest √2 razy większa niż szerokość.
A co ma z tym wspólnego proporcje 7:5? Biorąc pod uwagę, że pierwiastek kwadratowy z dwóch, jest to prosty ułamek matematyczny 7/5. Tyle, że łatwiej jest operować wartością √2 niż obliczanie piątej i siódmej części.
Uważam, że każdy budowniczy pracujący z tarcicą powinien mieć pojęcie skąd bierze się ten współczynnik kształtu!
Proporcje 7:5 mają belki:
Dziękuję za poświęcony czas i mam nadzieję, że było ciekawie!